20世纪数学思想

目 录 序 引言 第一篇 结构数学基础 1.1 19世纪数学的遗产 1.1 18世纪末之前的数学 1.2 19世纪的数学 2 19世纪末的数学基础研究 2.1 几何学基础与公理化 2.2 实数理论 2.3 集合论 2.4 数理逻辑 3 数学结构的基本概念 3.1 数学结构 3.2 集合与映射 3.3 序结构 3.4 代数结构 3.5 拓扑结构 3.6 复合结构 3.7 多重结构 3.8 混合结构 3.9 衍生结构 4 20世纪数学一瞥 4.1 结构的产生与结构数学的兴起 4.2 抽象代数学 4.3 一般拓扑学与泛函分析 4.4 经典数学 5 一些基本的数学结构 5.1 域 5.2 拓扑空间 5.3 点集纲性与测度 5.4 希尔伯特空间 5.5 巴拿赫空间 第二篇 群 论 1 群论的历史渊源与理论框架 1.1 群论概念的产生 1.2 从对称性到群 1.3 从具体群到抽象群 1.4 群论的理论框架 2 阿贝尔群 3 有限置换群 3.1 置换群的表示 3.2 置换群的一些基本概念 3.3 可迁群与k重可迁群 3.4 2重可迁群的分类 4 有限群 4.1 群的列举 4.2 群的基本结构 4.3 算术结构 4.4 有限幂零群和可解群 4.5 有限单群 4.6 群表示论 5 无限群 5.1 自由群与自由积 5.2 有限表出群 5.3 伯恩塞德问题 5.4 无限幂零群和可解群 6 李群 6.1 李群的发展历史 6.2 李变换群 6.3 基灵和嘉当的工作 6.4 李代数理论 6.5 整体李群 7 代数群 第三篇 拓扑学 1 导言 2 直观拓扑学 2.1 哥尼斯堡七桥问题 2.2 平面布线问题 2.3 多面体的欧拉公式 2.4 若尔当定理 2.5 单侧曲面 2.6 曲面的拓扑分类 2.7 四色问题 3 拓扑学的早期历史 4 同调理论 4.1 复合形与同调群 4.2 奇异同调论 4.3 同调论公理 4.4 上同调理论 4.5 不动点定理 4.6 拓扑K理论 5 同伦理论 5.1 引言 5.2 同伦论前史 5.3 映射度 5.4 同伦群 5.5 组合同伦群 5.6 球面同伦群 5.7 阻碍理论 6 纤维空间和纤维丛 6.1 前史 6.2 定义 6.3 纤维丛的引入 6.4 纤维丛的分类问题 6.5示性类 7 微分流形 7.1 微分流形的引入 7.2 配边理论 8 低维流形 8.1 三维流形 8.2 纽结理论 8.3 四维流形的拓扑 9 范畴与函子 9.1 范畴 9.2 函子 10 同调代数学 10.1 模 10.2 导出函子 第四篇 几何学与数论 1 微分流形的几何学 1.1 微分流形 1.2 微分流形的基础结构 1.3 微分流形的上层结构 1.4 微分流形的几何结构 2 大范围分析 2.1 德拉姆理论 2.2 莫尔斯理论 2.3 微分映射的奇点理论 2.4 指标定理 2.5 叶状结构 3 复解析几何学 3.1 多复变函数论 3.2 复流形 4 代数几何学 4.1 前史 4.2 抽象代数几何学 4.3 代数曲线 4.4 代数曲面 5 代数数论 5.1 代数整数论 5.2 结构理论 5.3 解析理论 5.4 几何理论 结束语 参考文献