有限域及其应用

冯克勤，清华大学教授。1941年出生，1968年中国科学技术大学数学系研究生毕业。1973至2000年在中国科学技术大学数学系和研究生院(北京)任教，2000年后到清华大学数学系工作。从事代数数论和代数编码理论研究。出版专著《分圆函数域》、《代数数论简史》等，出版大学生和研究生教材《整数与多项式》、《近世代数引论》、《交换代数基础》、《代数数论》和《代数与通信》等，主编丛书《走向数学》。..

在这本小册子里，我们在第一部分先给出全部有限域，并且介绍有限域的各种奇妙的性质．在第二部分讲述有限域的一些应用．这是一本通俗读物，爱好数学的中学生可以读懂本书的大部分内容．此外，《有限域及其应用》还需要线性代数的初步知识，主要是向量空间概念，矩阵的运算和域上解线性方程组的知识．除了“域”之外，我们还使用了抽象代数中另两个术语：“群”和“环”．这些术语并不深奥，我们主要涉及很简单的交换群、多项式环和有限域．问题的叙述和证明都尽量做得通俗，并举出例子加以说明，我们也常常加一些注记，为了使了解更多代数知识的人画龙点睛地指明事情的实质，或者描述一下有限域更深刻的理论进展，更广泛的应用，以及尚未解决的问题．在数学发展的历史长河和广泛天地之中，有限域(finitefield)只是数学田野(field)中一朵清新的小花，作者希望通过这朵小花使读者感受到数学之美，数学应用的广泛，以及数学和应用的相互促进．

《有限域及其应用》 续编说明1 编写说明3 引言5 理论部分 一 来自初等数论的有限域1 1.1 整除性和同余性1 习题14 1.2p元有限域15 习题30 二 一般有限域31 2.1 域上的多项式环31 习题43 2.2 构作一般有限域43 习题55 三 有限域上的函数57 3.1 广义布尔函数57 习题61 3.2 幂级数61 习题78 .3.3 加法特征和乘法特征79 习题92 3.4 高斯和与雅可比和92 习题104 四 有限域上的几何106 4.1 有限仿射几何107 习题117 4.2 有限射影几何118 习题128 4.3 平面仿射曲线和平面射影曲线128 习题135 五 有限域中解方程136 5.1 谢瓦莱-瓦宁定理:解的存在性136 习题150 5.2 多元二次方程150 习题167 5.3 费马曲线和阿廷-施莱尔曲线168 习题179 5.4 韦依定理179 习题189 应用部分 六 组合设计191 6.1 正交拉丁方191 习题205 6.2 区组设计205 习题212 6.3 阿达玛方阵212 习题218 七 纠错码219 7.1 纠错码220 习题229 7.2 线性码230 习题238 7.3 汉明码、多项式码和里德-马勒二元线性码240 习题255 7.4 循环码256 习题274 八 密码和信息安全275 8.1 凯撒大帝的密码277 8.2 m序列与图论——周游世界和一笔画282 习题293 8.3 构作m序列(并圈方法)293 习题303 8.4 公钥体制303 8.5 密钥的分配、更换和共享315 8.6 椭圆曲线算法329 结束语339